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拿下高考数学必考内容之一:排列组合问题

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拿下高考数学必考内容之一:排列组合问题



吴国平数学教育
数学教育名师 青云计划获奖者 头条教育原创作者


排列组合问题,可以说是考生非常头痛的问题,此类问题不仅具有内容抽象、解法灵活等特点,更因在解题过程极易出现“重复”或“遗漏”等错误,成为很多考生失分“重灾区”。

认真研究近几年全国各地高考数学试卷,我们发现排列组合问题一直是每年高考数学必考内容之一,因此考生定要加以重视。一般情况,与排列组合有关的题型主要从以下三个方面去考查考生:

1、掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用;

2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其简单应用;

3、掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题。

与排列组合相关的高考题,它的知识背景与生活息息相关,考查的形式主要基于“基础知识+思想方法+数学能力”这三种方式结合的模式。排列组合相关知识内容并不难,但主要难在解题方法上面。



典型例题分析1:

有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.

(1)选其中5人排成一排;

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;

(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排,女生必须站在一起;

(5)全体排成一排,男生互不相邻;

(6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;

(7)全体排成一排,甲必须排在乙前面;

(8)全部排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端.

解析: (1)从7个人中选5个人来排,是排列.有A75=7×6×5×4×3=2 520(种).

(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法,余下4人排在后排,有A44种方法,故共有A73·A44=5 040(种).事实上,本小题即为7人排成一排的全排列,无任何限制条件.

(3)(优先法)

方法一:甲为特殊元素,先排甲,有5种方法;其余6人有A66种方法,故共有5×A66=3600种;

方法二:排头与排尾为特殊位置,排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列,有A62种方法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有A55种方法,共有A62×A55=3600种。

(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有A44种方法,再将4名女生进行全排列,也有A44种方法,故共有A44×A44=576种.

(5)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种方法,

故共有A44×A53=1 440种.

(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先排甲乙两人,有A22种方法;第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间,有A53种;第三步把这个整体与余下2人进行全排列,有A33种方法.故共有A22·A53·A33=720种.

(7)(消序法)A77/2=2 520.

(8)(间接法)A77-2A66+A55=3 720.

位置分析法:分甲在排尾与不在排尾两类.



常见的求解排列组合题的主要方法有以下这么几种:

插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。

剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法。

对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体,就可以得到所求。

排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除。



典型例题分析2:

用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个(用数字作答).

解析 依题意按分类计数原理操作:

(1)当没有一个数字是偶数时,从1,3,5,7,9这五个数字中任取四个数,再进行全排列得无重复数字的四位数有A54=120个(或C54A44=120个);

(2)当仅有一个数字是偶数时,先从2,4,6,8中任取一个数,再从1,3,5,7,9中任取三个数,然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有C41C53A44=960.故由分类计数原理得这样的四位数共有N=120+960=1080个。

一些考生容易在此块内容丢分,主要是由于排列组合试题知识相互交错,综合性强,思路灵活,解答时往往容易将二者的概念混淆,理不清,辨不明是排列问题,还是组合问题,进而造成解题失误。

考生要想拿到排列组合的分数解题时应注意不断积累经验,总结解题规律,掌握若干技巧,使看似复杂的问题迎刃而解。

排列组合问题作为每年高考数学必考内容之一,其考查形式大部分都以选择题、填题等形式出现,在一些省份的高考数学中会以解答题形式考查考生,试题的难度一般以中档题为主。

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