拿下高考数学必考内容之一：排列组合问题

北方的村庄 · 发表于 2018-10-11 08:45

拿下高考数学必考内容之一：排列组合问题


吴国平数学教育
数学教育名师青云计划获奖者头条教育原创作者

排列组合问题，可以说是考生非常头痛的问题，此类问题不仅具有内容抽象、解法灵活等特点，更因在解题过程极易出现“重复”或“遗漏”等错误，成为很多考生失分“重灾区”。

认真研究近几年全国各地高考数学试卷，我们发现排列组合问题一直是每年高考数学必考内容之一，因此考生定要加以重视。一般情况，与排列组合有关的题型主要从以下三个方面去考查考生：

1、掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用；

2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其简单应用；

3、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

与排列组合相关的高考题，它的知识背景与生活息息相关，考查的形式主要基于“基础知识＋思想方法＋数学能力”这三种方式结合的模式。排列组合相关知识内容并不难，但主要难在解题方法上面。

典型例题分析1：

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻；

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；

(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．

解析： (1)从7个人中选5个人来排，是排列．有A75＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．

(3)(优先法)

方法一：甲为特殊元素，先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66=3600种；

方法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62×A55=3600种。

(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．

(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，

故共有A44×A53＝1 440种．

(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A53·A33＝720种．

(7)(消序法)A77/2＝2 520.

(8)(间接法)A77－2A66＋A55＝3 720.

位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．

常见的求解排列组合题的主要方法有以下这么几种：

插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。

剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。

对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

排异法：有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除。

典型例题分析2：

用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.

解析依题意按分类计数原理操作：

(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有A54=120个(或C54A44=120个)；

(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有C41C53A44=960.故由分类计数原理得这样的四位数共有N=120+960=1080个。

一些考生容易在此块内容丢分，主要是由于排列组合试题知识相互交错，综合性强，思路灵活，解答时往往容易将二者的概念混淆，理不清，辨不明是排列问题，还是组合问题，进而造成解题失误。

考生要想拿到排列组合的分数解题时应注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，使看似复杂的问题迎刃而解。

排列组合问题作为每年高考数学必考内容之一，其考查形式大部分都以选择题、填题等形式出现，在一些省份的高考数学中会以解答题形式考查考生，试题的难度一般以中档题为主。

垄上稻花香 · 发表于 2018-10-11 13:19

已拜读！值得收藏！

秋山月影 · 发表于 2018-10-11 17:58

楼主辛苦，
欣赏支持。

东方红旗飘 · 发表于 2018-10-11 20:31

学习了

踏雪寻梅2 · 发表于 2018-10-11 20:39

学习了

太行教育 · 发表于 2018-10-12 06:20

浏览支持

北方的村庄 · 发表于 2018-10-13 12:11

垄上稻花香发表于 2018-10-11 13:19
已拜读！值得收藏！

谢谢老师支持

北方的村庄 · 发表于 2018-10-13 12:11

秋山月影发表于 2018-10-11 17:58
楼主辛苦，
欣赏支持。

谢谢你来这里支持我

北方的村庄 · 发表于 2018-10-13 12:11

东方红旗飘发表于 2018-10-11 20:31
学习了

谢老师支持

北方的村庄 · 发表于 2018-10-13 12:12

踏雪寻梅2 发表于 2018-10-11 20:39
学习了

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北方的村庄 · 发表于 2018-10-13 12:12

太行教育发表于 2018-10-12 06:20
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